☆ Racine entière, irrationnelle ? - Vers le supérieur - Corrigé

Énoncé

On considère le polynôme \(P(x)=x^2+ax+b\) avec \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) .

1. Montrer que si \(P(\alpha)=0\) et si \(\alpha \in \mathbb{Q}\) , alors \(\alpha \in \mathbb{Z}\) .

2. En déduire que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , le nombre \(\sqrt{n}\) est soit entier, soit irrationnel.

Solution

1. Supposons que \(P(\alpha)=0\) avec \(\alpha \in \mathbb{Q}\) . Par définition de \(\mathbb{Q}\) , il existe \(p \in \mathbb{Z}\) et \(q \in \mathbb{N}^\ast\) premiers entre eux tels que \(\alpha=\dfrac{p}{q}\) .
On a alors : 
\(\begin{align*}P(\alpha)=0\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left(\frac{p}{q}\right)^2+a\times \frac{p}{q}+b=0& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{p^2}{q^2}+a\times \frac{p}{q}+b=0\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ p^2+apq+bq^2=0\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ p^2=q(-ap+bq)\end{align*}\)   
donc \(q\) divise \(p^2\) .

Or \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, \(q\) divise \(p\) . En appliquant de nouveau le théorème de Gauss, on en déduit que \(q\) divise \(1\) et donc que \(q=1\) .
Finalement, \(\alpha=\dfrac{p}{1}=p \in \mathbb{Z}\) .

2. Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Le nombre \(\sqrt{n}\) est solution de l'équation \(x^2-n=0\) , donc d'après la question précédente :

• soit \(\sqrt{n}\) est rationnel, et alors \(\sqrt{n}\) est entier ;
• soit \(\sqrt{n}\) est irrationnel.